数学公式

ChidaoDouyu2025/8/15约 3309 字大约 11 分钟

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提示

本文仅供背诵公式，复习请以教材和笔记为主

复数

负数的模 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$
虚数单位 $i^2=-1$
共轭复数 $\overline{z}=x-yi$
一元二次方程的复数根 $x=\frac{-b±\sqrt{|Δ|i}}{2a}$
周期性纯虚数的周期为4

二项式定理

通项公式 $T_{k+1}=C_n^k*a^{n-k}*b^k$
展开式项数 $n+1$
二项式系数 $C_n^k$

定义式 $a_n-a_{n-1}=d$
通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$
公差求前N项和 $S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}$
首末项求前N项和 $S_n=n*\frac{a_1+a_n}{2}$
等差中项 $2b=a+c$
$m+n=p+q$ 可推出 $a_m+a_n=a_p+a_q$
前N项和间差成等差数列
即 $S_n$ , $S_{2n}-S_n$ , $S_{3n}-S_{2n}$ , … 成等差数列
$\frac{S_n}{n}$ 是以 $a_1$ 为首项， $\frac{d}{2}$ 为公差的等差数列

等比数列

定义式 $\frac{a_{n+1}}{a_n} =q$
通项公式 $a_n=a_1*q^{n-1}$
公比求前N项和 $S_n=\frac{a_1*(1-q^n)}{1-q}$
特殊地， $q=1$ 时， $S_n=na_1$
等比中项 $b^2=a*c$
$m+n=p+q$ 可推出 $a_m*a_n=a_p*a_q$
前N项和间差成等比数列
即 $S_n$ , $S_{2n}-S_n$ , $S_{3n}-S_{2n}$ , … 成等比数列

常用的运算

$1-q^4={(1-{q^2})}^2=(1+q^2)(1-q^2)$
$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$
$1-q^6=1-(q^2)^3=(1-q^2)(1+q^2+q^4)$

立体几何

体积

椎体 $V=\frac{1}{3}Sh$
圆台 $V=\frac{1}{3}(S_r+S_R+h*\sqrt{S_r*S_R})$
球体 $V=\frac{4}{3}πR^3$

表面积

圆锥 $S=πr^2+πrl$
圆台 $S=πr^2+πrl+πR^2+πRl$
球体 $S=4πr^2$

扇形

圆心角求弧长 $l=αr$
弧长求面积 $S=\frac{1}{2}lr$
斜二侧面积关系 $S_{\text{平面}}=2\sqrt{2}*S_{\text{直观}}$

函数

定义域

函数名	定义域
对数函数	$x>0$
指数函数	$x≠0$
反比例函数	$x≠0$
$y=\sqrt{x}$	$x≥0$

奇偶性

奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$
偶函数性质 $f(-x)=f(x)$
若 $f(x)$ 为增函数，则 $-f(x)$ 为减函数， $\frac{1}{f(x)}$ 为减函数
$\text{增函数}+\text{增函数}=\text{增函数}$
$\text{减函数}+\text{减函数}=\text{减函数}$
$\text{增函数}-\text{减函数}=\text{增函数}$
$\text{减函数}-\text{增函数}=\text{减函数}$
$\text{增函数}+\text{减函数}=\text{不一定}$
对于复合函数 $y=f[g(x)]$ $y = f [g (x)]$
- 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 增减性相同，则 $y$ 为增函数
- 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 增减性相反，则 $y$ 为减函数
周期性与对称性的区分： $x$ 同号周期，异号对称

周期性

若 $f(x+a)=f(x)$ ，则 $f(x)$ 周期为 $a$
若 $f(x+a)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 周期为 $2a$
若 $f(x+a)=\frac{1}{f(x)}$ ，则 $f(x)$ 周期为 $2a$
若 $f(x+a)=f(x-a)$ ，则 $f(x)$ 周期为 $2a$
若 $f(x+a)+f(x+b)=c$ ，则 $f(x)$ 周期为 $2|a-b|$
若 $f(x+a)*f(x+b)=c$ ，则 $f(x)$ 周期为 $2|a-b|$

对称性

若 $f(a-x)=f(a+x)$ ，则 $f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称
若 $f(a+x)=f(b-x)$ ，则 $f(x)$ 关于直线 $x=\frac{a+b}{2}$ 对称
若 $f(a+x)+f(a+x)=0$ ，则 $f(x)$ 关于点 $(a,0)$ 对称
若 $f(a+x)-f(b-x)=0$ ，则 $f(x)$ 关于点 $(\frac{a+b}{2},\frac{n}{2})$ 对称
对称性推周期性口诀：同性两距离，异性四距离
某周期函数两相邻对称轴为 $x=a$ 和 $x=b$ ，则函数周期为 $2|a-b|$
某周期函数两相邻对称中心为 $(a,0)$ 和 $(b,0)$ ，则函数周期为 $2|a-b|$
某周期函数一对称轴和与其相邻的一对称中心分别为 $x=a$ 和 $(b,0)$ ，则函数周期为 $4|a-b|$

对称性与奇偶性

若 $f(x)$ 为偶函数，则 $f(x+a)$ 关于什么对称：直线 $x=-a$
若 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(x+a)$ 关于什么对称：点 $(-a,0)$
若 $f(nx+b)$ 为偶函数，则 $f(x)$ 关于什么对称：直线 $x=b$
若 $f(nx+b)$ 为奇函数，则 $f(x)$ 关于什么对称：点 $(b,0)$

基本初等函数

指数函数

解析式 $y=a^x$
a的范围： $a>0$ 且 $a≠1$
若 $0<a<1$ ，则减
若 $a>1$ ，则增

对数函数

解析式 $y=\log{ax}$
a的范围： $a>0$ 且 $a≠1$
若 $0<a<1$ ，则减
若 $a>1$ ，则增

幂函数

解析式 $y=x^a$

当 $x>0$ $x > 0$ 时
- 若 $a>0$ ，则增
- 若 $a<0$ ，则减

对勾函数

解析式 $y=x+\frac{k}{x} , (k>0)$
奇偶性：奇函数
最小值： $2\sqrt{k}$ ，当且仅当 $x=\frac{k}{x}$ 时取最小值

双刀函数

解析式 $y=x-\frac{k}{x},(k>0)$
奇偶性：奇函数
增减性：在 $x<0$ 或 $x>0$ 内分别单调递增

导数

函数的求导

常数 $c'=0$
幂函数 ${(x^n)}'=nx^{n-1}$
正弦函数 $(\sin{x})'=\cos{x}$
余弦函数 $(\cos{x})'=-\sin{x}$
指数函数 ${(a^x)}'=a^x*\ln{a}$
对数函数 ${(\log{ax})}'=\frac{1}{x\ln{a}}$
$y=f[g(x)]$ 的导函数为 $y'=f'(x)*g'(x)$

导数的四则运算（乘加除减）

加减：导函数直接加减
乘法：前导后不导，前不导后导
除法：上导下不导，上不导下导

导数拓展

导函数求切线斜率 $k=f'(x_0)$
增函数的导函数值域 $f'(x)>0$
极值点要求
导数为0
导函数必须穿越 $x$ 轴
即函数在该点改变单调性

三角函数

三角函数基础

弧度制化为角度制 $π=180°$
求 $\frac{α}{n}$ 所在象限：将每个象限均分为 $n$ 份，从 $0°$ 开始逆时针以 $4$ 为周期标数， $α$ 为第几象限角， $\frac{α}{n}$ 就在标为几的象限块内
正弦函数为正的角的象限 $1,2$
余弦函数为正的角的象限 $1,4$
正切函数为正的角的象限 $1,3$

同角恒等变换

同角正余弦变换 $\sin{x^2}+\cos{x^2}=1$
同角弦切变换 $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限

和差角公式

正弦 $\sin{\alpha\pm\beta}=\sin{\alpha}*\cos{\beta}\pm\sin{\beta}*\cos{\alpha}$
余弦 $\cos{\alpha\pm\beta}=\cos{\alpha}*\cos{\beta}\mp\sin{\alpha}*\sin{\beta}$
正切 $\tan{\alpha\pm\beta}=\frac{\tan{\alpha}\pm\tan{\beta}}{1\mp\tan{\alpha}*\tan{\beta}}$
口诀：谈谈一谈谈，上加下减

倍角公式

正弦 $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}*\cos{\alpha}$
余弦 $\cos{2\alpha}=\cos{\alpha^2}-\sin{\alpha^2}$
正切 $\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan{\alpha^2}}$

辅助角公式

提公因数 $\sqrt{a^2+b^2}$
辅助角正切值 $\tan{\varphi}=\frac{b}{a}$

正弦函数性质

对称轴 $x=\frac{π}{2}+kπ$
对称中心 $(kπ,0)$
单调递增区间 $[\frac{-π}{2}+2kπ,\frac{π}{2}+2kπ]$

正切函数性质

定义域 $x≠\frac{π}{2}+kπ$
值域 $y∈R$
奇偶性：奇函数
对称中心 $(\frac{kπ}{2},0)$
单调递增区间 $(-\frac{π}{2}+kπ,\frac{π}{2}+kπ)$
最小正周期 $π$
正切函数角频率求周期 $T=\frac{π}{|ω|}$

图像的变换

平移：左加右减
平移后初相 $φ=ω*Δx$
放缩
- 横向横坐标变为原来的 $\frac{1}{ω}$ 倍
- 纵向纵坐标变为原来的 $A$ 倍

解三角形

正弦定理 $\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2r$ 其中, $r$ 为外接圆半径
合比定理 $\frac{a}{\sin{A}}=\frac{a+b}{\sin{A}+\sin{B}}=\frac{a+b+c}{\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}}$
余弦定理 $\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
若 $\sin{A}=\cos{B}$ , 则 $A=\frac{\pi}{2} \pm B$
边角边求面积 $S=\frac{1}{2}ab*\sin{C}$
内切圆半径求面积 $S=\frac{1}{2}(a+b+c)*r$
中线：向量法
角分线（已知顶角）：面积桥/角平分线订立
高线：面积桥

平面向量

数量积 $\vec{a}*\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*\cos{<\vec{a},\vec{b}>}$
投影长度 $\frac{(\vec{a}*\vec{b})}{|\vec{b}|}$
投影向量 $\frac{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{b}|}*\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$
坐标求数量积 $\vec{a}*\vec{b}=x_1*x_2+y_1*y_2$
若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 平行，则 $x_1*y_2-x_2*y_1=0$
若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $\vec{a}*\vec{b}=0$

直线和圆

偏角求斜率 $k=\tan{\theta}$
两直线平行，斜率关系相等
两直线垂直，斜率关系负倒数即 $k_1*k_2=-1$

直线方程表示

点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$
斜截式 $y=kx+m$
一般式 $Ax+By+C=0$
两点式 $\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
截距式 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

距离

两点间 $|AB|=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$
点到线 $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
两线间 $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

圆的方程

圆的标准方程 ${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$
圆心为 $(a,b)$ , 半径为 $r$
圆的弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$

点与圆关系

点在圆外 $|PO|>r$
点在圆上 $|PO|=r$
点在圆内 $|PO|<r$

线与圆关系

相离 $d>r$
相切 $d=r$
相交 $d<r$

圆与圆关系

相离 $|C_1 C_2|>|r_1+r_2|$
外切 $|C_1 C_2 |=|r_1+r_2 |$
相交 $|r_1-r_2 |<|C_1 C_2 |<|r_1+r_2 |$
内切 $|C_1 C_2 |=|r_1-r_2 |$
内含 $|C_1 C_2 |<|r_1-r_2 |$
圆与圆公切线条数
- 相离四条
- 外切三条
- 相交两条
- 内切一条
- 内含无
圆与圆公切线长度
- 外公切线 $|AB|=\sqrt{{|C_1C_2|}^2-{(r_2-r_1)}^2}$
- 内公切线 $|AB|=\sqrt{{|C_1C_2|}^2-{(r_2+r_1)}^2}$
过圆内一定点作
- 最长弦直径
- 最短弦垂直于直径 $|FG|=2\sqrt{r^2-{|CP|}^2}$

圆锥曲线

椭圆

定义 $|PF_1|+|PF_2|=2a$
标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$
轴长
- 长轴长 $2a$
- 短轴长 $2b$
- 焦距为 $2c$
abc关系 $a^2=b^2+c^2$
离心率 $e=\frac{c}{a}$
通径长公式 $|P_1P_2|=\frac{2b^2}{a}$

双曲线

定义 $||PF_1|-|PF_2||=2a$
标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或 $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$
轴长
- 实轴 $2a$
- 虚轴 $2b$
- 焦距 $2c$
abc关系 $c^2=a^2+b^2$
离心率 $e=\frac{c}{a}$
渐近线 $y=\pm\frac{b}{a}x$ 或 $x=\pm\frac{b}{a}y$
通径长 $\frac{2b^2}{a}$
焦点到渐近线距离 $b$

抛物线

定义 $|PF|=d_{p-l}$
标准方程 $y^2=\pm 2px$ 或 $x^2=\pm 2py$
焦点 $F(\pm\frac{p}{2},0)$ 或 $F(0,\pm\frac{p}{2})$
准线 $y=\pm\frac{p}{2}$ 或 $x=\pm\frac{p}{2}$
离心率 $e=1$
$p$ 越大，开口越大
通径长 $2p$
抛物线上距离焦点最近的点顶点
一过焦点弦 $PQ$ $PQ$
- 以 $PQ$ 为直径的圆与该抛物线的准线相切
- 以 $PF/QF$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切

统计

统计基础

方差 $s^2=\frac{1}{n}[{(x_1-\bar{x})}^2+{(x_2-\bar{x})}^2+⋯+{(x_n-\bar{x})}^2]$
标准差 $\sqrt{s^2}$
当每个样本都变为 $ax_n+b$ $a x_{n} + b$ 时
- 众数，平均数，第 $p$ 百分位数：变为 $a\text{倍}+b$
- 标准差，极差：变为 $a\text{倍}$
- 方差：变为 $a^2\text{倍}$

频率分布直方图

每个小正方形的面积表示频率
纵坐标 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$

线性回归方程

方程 $y=\hat{b}x+\hat{a}$
当 $\hat{b}>0$ 时， $y$ 与 $x$ 正相关
当 $\hat{b}<0$ 时， $y$ 与 $x$ 负相关
回归方程直线过定点 $(\bar{x},\bar{y})$
归纳方法分子分母可分别拆开组合
$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i y_i)-n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^n(x_i^2) -n\bar{x}^2}$
$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$

相互独立 $P(AB)=P(A)*P(B)$
A的条件下B发生的概率 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
全概率公式 $P(B)=P(A_1)*P(B|A_1)+⋯+P(A_n)*P(B|A_n)$
数学期望 $E(X)=x_1 p_1+⋯+x_n p_n$
若 $Y=aX+b$ ，则 $E(Y)=aE(X)+b$
方差 $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$
若 $Y=aX+b$ ，则 $D(Y)=a^2D(X)$

$X$ ~ $N(μ,σ^2)$
期望 $E(X)=μ$
方差 $D(X)=σ^2$
$3σ$ $3 σ$ 原则
- $1σ$ $p(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827$
- $2σ$ $p(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545$
- $3σ$ $p(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973$